打好基础是拿分的关键！这一模块是所有题目的基石，务必熟练掌握！
想象你有很多不同大小的"盒子"来装东西：
#include <iostream> using namespace std; int main() { // int 类型：能装约21亿，适合大部分整数题目 int score = 100; int bigNum = 2000000000; // 接近int上限 // long long 类型：能装超大数字，范围约9.2×10^18 long long hugeNum = 9000000000000000000LL; // 注意：大数运算时，至少有一个数要是long long long long result = 1000000LL * 1000000LL; // double 类型：存储小数，注意精度问题 double pi = 3.14159265358979; double price = 9.99; // char 类型：存储单个字符，用单引号 char grade = 'A'; char digit = '7'; int numFromChar = digit - '0'; // 字符转数字：'7' -> 7 // bool 类型：只有 true 或 false bool isPassed = true; bool isEmpty = false; // bool可以参与运算：true=1，false=0 int count = isPassed + 5; // count = 6 return 0; }
| 数据类型 | 范围 | 占用空间 | 使用场景 |
|---|---|---|---|
| int | -2,147,483,648 ~ 2,147,483,647（约±21亿） | 4字节 | 大部分整数运算 |
| long long | 约±9.2×10^18（19位数） | 8字节 | 大数运算、防止溢出 |
| double | 约±1.7×10^308（15-16位有效数字） | 8字节 | 小数运算、科学计算 |
| char | -128 ~ 127 或 0 ~ 255 | 1字节 | 单个字符 |
| bool | true / false | 1字节 | 条件判断、标记 |
整除（/）和求余（%）是考试的"常客"！
逻辑运算符用来组合多个条件：
#include <iostream> using namespace std; int main() { // ========== 整除和求余的实战应用 ========== int n = 12345; // 分离各位数字 int ge = n % 10; // 个位：5 int shi = n / 10 % 10; // 十位：4 int bai = n / 100 % 10; // 百位：3 // 判断奇偶性 if (n % 2 == 0) { cout << "是偶数" << endl; } else { cout << "是奇数" << endl; } // 判断能否被3整除 if (n % 3 == 0) { cout << "能被3整除" << endl; } // ========== 逻辑运算符 ========== int age = 12; int score = 85; // && 与：两个条件都要满足 if (age >= 10 && score >= 60) { cout << "符合参赛条件" << endl; } // || 或：只要一个条件满足 if (score >= 90 || score < 60) { cout << "成绩优秀或不及格" << endl; } // ! 非：取反 bool isRaining = false; if (!isRaining) { cout << "可以出去玩" << endl; } // 组合使用：加括号更清晰 if ((age >= 10 && age <= 15) && (score >= 80 || score == 100)) { cout << "符合小高组优秀选手条件" << endl; } return 0; }
多层循环就像"套娃"，外层循环每走一步，内层循环就要完整跑一遍！
想象一个学校有3个年级，每个年级有4个班，每个班有5个小组：
#include <iostream> using namespace std; int main() { // ========== 打印矩形星号 ========== // 外层控制行数，内层控制每行的星号数 for (int i = 0; i < 5; i++) { // 5行 for (int j = 0; j < 8; j++) { // 每行8个星号 cout << "* "; } cout << endl; // 每行结束后换行 } // ========== 打印九九乘法表 ========== for (int i = 1; i <= 9; i++) { // 外层：被乘数 for (int j = 1; j <= i; j++) { // 内层：乘数，j <= i 实现三角形 cout << j << "×" << i << "=" << i*j << "\t"; } cout << endl; } // ========== 遍历二维矩阵 ========== int matrix[3][4] = { {1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8}, {9, 10, 11, 12} }; // 外层遍历行，内层遍历列 for (int i = 0; i < 3; i++) { // 3行 for (int j = 0; j < 4; j++) { // 4列 cout << matrix[i][j] << " "; } cout << endl; } // ========== 找最大值的位置 ========== int maxVal = -1, maxRow = 0, maxCol = 0; for (int i = 0; i < 3; i++) { for (int j = 0; j < 4; j++) { if (matrix[i][j] > maxVal) { maxVal = matrix[i][j]; maxRow = i; maxCol = j; } } } cout << "最大值：" << maxVal << "，位置：(" << maxRow << "," << maxCol << ")" << endl; return 0; }
掌握这些数据结构，你就能处理更复杂的问题！这是小高组拿高分的关键！
二维数组就像一个"表格"或"棋盘"，有行和列两个维度！
#include <iostream> using namespace std; int main() { // ========== 二维数组的定义和初始化 ========== int arr[3][4]; // 3行4列的二维数组 // 方式1：直接初始化 int matrix[3][4] = { {1, 2, 3, 4}, // 第0行 {5, 6, 7, 8}, // 第1行 {9, 10, 11, 12} // 第2行 }; // ========== 双重循环读入数据 ========== int n, m; cin >> n >> m; // 读入行数和列数 int data[100][100]; // 预留足够空间 for (int i = 0; i < n; i++) { // 遍历每一行 for (int j = 0; j < m; j++) { // 遍历每一列 cin >> data[i][j]; // 读入第i行第j列的元素 } } // ========== 双重循环遍历输出 ========== for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < m; j++) { cout << data[i][j] << " "; } cout << endl; // 每行结束后换行 } // ========== 常见操作：求每行/每列的和 ========== // 求每行的和 for (int i = 0; i < n; i++) { int rowSum = 0; for (int j = 0; j < m; j++) { rowSum += data[i][j]; } cout << "第" << i << "行的和：" << rowSum << endl; } // 求每列的和 for (int j = 0; j < m; j++) { int colSum = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { colSum += data[i][j]; } cout << "第" << j << "列的和：" << colSum << endl; } // ========== 对角线元素 ========== // 主对角线：i == j for (int i = 0; i < n; i++) { cout << data[i][i] << " "; // 主对角线元素 } // 副对角线：i + j == n - 1 for (int i = 0; i < n; i++) { cout << data[i][n-1-i] << " "; // 副对角线元素 } return 0; }
string 就像一串"珠子"，每个珠子是一个字符！
#include <iostream> #include <string> // 使用string需要这个头文件 using namespace std; int main() { // ========== 字符串的定义和输入 ========== string s1 = "Hello"; // 直接初始化 string s2; // 空字符串 cin >> s2; // 读入一个字符串（遇空格停止） // ========== 获取字符串长度 ========== string s = "Hello World"; cout << "长度：" << s.size() << endl; // 11 cout << "长度：" << s.length() << endl; // 11（两种写法等价） // ========== 遍历字符串的每个字符 ========== for (int i = 0; i < s.size(); i++) { cout << s[i] << " "; // 输出每个字符 } cout << endl; // ========== 截取子串 substr ========== string text = "HelloWorld"; // substr(起始位置, 长度) string sub1 = text.substr(0, 5); // "Hello"，从位置0开始截5个 string sub2 = text.substr(5, 5); // "World"，从位置5开始截5个 string sub3 = text.substr(2); // "lloWorld"，从位置2截到末尾 cout << sub1 << " | " << sub2 << " | " << sub3 << endl; // ========== 字符转数字 ========== string numStr = "2024"; int year = 0; // 方法1：逐位转换 for (int i = 0; i < numStr.size(); i++) { int digit = numStr[i] - '0'; // 字符转数字 year = year * 10 + digit; // 累加构建数字 } cout << "年份：" << year << endl; // 2024 // 方法2：使用 stoi 函数（C++11） int year2 = stoi(numStr); // 直接转换 // ========== 字符串拼接 ========== string first = "Hello"; string second = "World"; string result = first + " " + second; // "Hello World" // ========== 常见操作：统计某字符出现次数 ========== string sentence = "Hello World"; int count = 0; for (int i = 0; i < sentence.size(); i++) { if (sentence[i] == 'l') { // 统计字母'l'出现的次数 count++; } } cout << "字母l出现了" << count << "次" << endl; // 3次 return 0; }
算法思维是编程的灵魂！掌握这些思维方式，你就能解决各种问题！
枚举就是"穷举所有可能"，一个一个试，找到符合条件的答案！
就像你要找一把能开锁的钥匙，把钥匙串上的每一把都试一遍，总能找到对的那把！
模拟就是"照着题目说的做"，题目让你干什么，你就一步一步实现！
比如题目说"小明每天存5元，存了10天"，你就用循环算：5 × 10 = 50元
#include <iostream> using namespace std; int main() { // ========== 例题1：找出1-100中所有能被3整除的数 ========== cout << "1-100中能被3整除的数：" << endl; for (int i = 1; i <= 100; i++) { // 枚举范围：1到100 if (i % 3 == 0) { // 判断条件：能被3整除 cout << i << " "; } } cout << endl << endl; // ========== 例题2：找出100-999中所有的水仙花数 ========== // 水仙花数：各位数字的立方和等于它本身，如 153 = 1³+5³+3³ cout << "水仙花数：" << endl; for (int num = 100; num <= 999; num++) { // 枚举所有三位数 int temp = num; int ge = temp % 10; // 分离个位 temp /= 10; int shi = temp % 10; // 分离十位 temp /= 10; int bai = temp; // 分离百位 // 判断是否是水仙花数 if (ge*ge*ge + shi*shi*shi + bai*bai*bai == num) { cout << num << " "; } } cout << endl << endl; // ========== 例题3：百钱买百鸡问题 ========== // 公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只 // 100元买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？ cout << "百钱买百鸡方案：" << endl; for (int x = 0; x <= 20; x++) { // 公鸡最多20只（100/5） for (int y = 0; y <= 33; y++) { // 母鸡最多33只（100/3） int z = 100 - x - y; // 小鸡数量 // 判断：钱数等于100，且小鸡数量是3的倍数 if (z % 3 == 0 && 5*x + 3*y + z/3 == 100) { cout << "公鸡：" << x << "，母鸡：" << y << "，小鸡：" << z << endl; } } } cout << endl; // ========== 例题4：模拟题 - 计算阶乘 ========== // 输入n，计算n! = 1×2×3×...×n int n; cout << "请输入n："; cin >> n; long long factorial = 1; // 用long long防止溢出 for (int i = 1; i <= n; i++) { factorial *= i; // 累乘 } cout << n << "! = " << factorial << endl; return 0; }
贪心算法：每一步都选"当前最优"，希望最终得到全局最优！
就像找零钱：要找37元，先用最大的20元，再找17元；用10元，再找7元；用5元，再找2元；用2元，完成！
递推：从已知推出未知，利用前面的结果计算后面的结果！
就像斐波那契数列：第3项 = 第1项 + 第2项，第4项 = 第2项 + 第3项...
#include <iostream> using namespace std; int main() { // ========== 贪心例题：找零钱问题 ========== // 有面值100、50、20、10、5、1的纸币，找零n元，最少几张？ int money; cout << "请输入要找的金额："; cin >> money; int count = 0; int values[] = {100, 50, 20, 10, 5, 1}; cout << "找零方案：" << endl; for (int i = 0; i < 6; i++) { int num = money / values[i]; // 能用几张这个面值的 if (num > 0) { cout << values[i] << "元：" << num << "张" << endl; count += num; money %= values[i]; // 剩余金额 } } cout << "总共需要" << count << "张纸币" << endl << endl; // ========== 递推例题1：斐波那契数列 ========== // f(1)=1, f(2)=1, f(n)=f(n-1)+f(n-2) int n; cout << "请输入n："; cin >> n; long long fib[100]; // 存储斐波那契数列 fib[1] = 1; // 边界条件 fib[2] = 1; // 边界条件 for (int i = 3; i <= n; i++) { fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]; // 递推公式 } cout << "斐波那契数列第" << n << "项：" << fib[n] << endl << endl; // ========== 递推例题2：爬楼梯问题 ========== // 每次可以爬1级或2级台阶，问爬到第n级有多少种方法？ // 思路：到第n级，可以从n-1级爬1级，或从n-2级爬2级 // 所以：f(n) = f(n-1) + f(n-2) int stairs; cout << "请输入台阶数："; cin >> stairs; long long dp[100]; dp[1] = 1; // 1级台阶：1种方法 dp[2] = 2; // 2级台阶：2种方法（1+1 或 2） for (int i = 3; i <= stairs; i++) { dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; // 状态转移方程 } cout << "爬到第" << stairs << "级有" << dp[stairs] << "种方法" << endl << endl; // ========== 递推例题3：数字三角形（简化版） ========== // 从顶部走到底部，每次只能走左下或右下，求最大路径和 int triangle[5][5] = { {7, 0, 0, 0, 0}, {3, 8, 0, 0, 0}, {8, 1, 0, 0, 0}, {2, 7, 4, 4, 0}, {4, 5, 2, 6, 5} }; // dp[i][j] 表示从顶部走到(i,j)的最大和 int dp2[5][5] = {0}; dp2[0][0] = triangle[0][0]; for (int i = 1; i < 5; i++) { for (int j = 0; j <= i; j++) { if (j == 0) { dp2[i][j] = dp2[i-1][j] + triangle[i][j]; // 只能从左上来 } else if (j == i) { dp2[i][j] = dp2[i-1][j-1] + triangle[i][j]; // 只能从右上来 } else { dp2[i][j] = max(dp2[i-1][j-1], dp2[i-1][j]) + triangle[i][j]; } } } // 找最后一行的最大值 int maxSum = 0; for (int j = 0; j < 5; j++) { if (dp2[4][j] > maxSum) { maxSum = dp2[4][j]; } } cout << "最大路径和：" << maxSum << endl; return 0; }
排序是算法的基础中的基础！掌握这四种排序，考试不慌！
冒泡排序就像"气泡上浮"，大的数字会一点点"浮"到后面！
#include <iostream> using namespace std; int main() { int arr[] = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90}; int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); cout << "排序前："; for (int i = 0; i < n; i++) cout << arr[i] << " "; cout << endl; // ========== 冒泡排序核心代码 ========== for (int i = 0; i < n - 1; i++) { // 外层：n-1轮 for (int j = 0; j < n - 1 - i; j++) { // 内层：每轮比较n-1-i次 if (arr[j] > arr[j + 1]) { // 相邻比较 // 交换 int temp = arr[j]; arr[j] = arr[j + 1]; arr[j + 1] = temp; } } } cout << "排序后："; for (int i = 0; i < n; i++) cout << arr[i] << " "; cout << endl; return 0; }
点击"播放动画"开始演示冒泡排序过程
选择排序就像"选美比赛"，每轮选出最小的放到前面！
#include <iostream> using namespace std; int main() { int arr[] = {64, 25, 12, 22, 11}; int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); // ========== 选择排序核心代码 ========== for (int i = 0; i < n - 1; i++) { // 外层：n-1轮 int minIdx = i; // 假设当前最小值在位置i // 在i后面的元素中找最小值 for (int j = i + 1; j < n; j++) { if (arr[j] < arr[minIdx]) { minIdx = j; // 更新最小值位置 } } // 把最小值交换到位置i if (minIdx != i) { int temp = arr[i]; arr[i] = arr[minIdx]; arr[minIdx] = temp; } } // 输出结果 for (int i = 0; i < n; i++) cout << arr[i] << " "; return 0; }
插入排序就像"整理扑克牌"，每次拿一张牌，插到正确的位置！
#include <iostream> using namespace std; int main() { int arr[] = {12, 11, 13, 5, 6}; int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); // ========== 插入排序核心代码 ========== for (int i = 1; i < n; i++) { // 从第2个元素开始 int key = arr[i]; // 当前要插入的元素 int j = i - 1; // 从前一个位置开始比较 // 把比key大的元素往后移 while (j >= 0 && arr[j] > key) { arr[j + 1] = arr[j]; // 往后移 j--; } // 插入key到正确位置 arr[j + 1] = key; } // 输出结果 for (int i = 0; i < n; i++) cout << arr[i] << " "; return 0; }
计数排序就像"投票计数"，统计每个数字出现了几次！
#include <iostream> #include <cstring> // 用于memset using namespace std; int main() { int arr[] = {4, 2, 2, 8, 3, 3, 1}; int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); // ========== 计数排序核心代码 ========== // 步骤1：找最大值，确定桶的数量 int maxVal = arr[0]; for (int i = 1; i < n; i++) { if (arr[i] > maxVal) maxVal = arr[i]; } // 步骤2：创建桶并初始化为0 int bucket[100] = {0}; // 假设数据范围不超过100 // 步骤3：统计每个数字出现的次数 for (int i = 0; i < n; i++) { bucket[arr[i]]++; } // 步骤4：按顺序输出（从小到大） cout << "排序后："; for (int i = 0; i <= maxVal; i++) { // 每个数字输出它出现的次数 for (int j = 0; j < bucket[i]; j++) { cout << i << " "; } } cout << endl; // 如果要从大到小输出，反向遍历即可 cout << "从大到小："; for (int i = maxVal; i >= 0; i--) { for (int j = 0; j < bucket[i]; j++) { cout << i << " "; } } cout << endl; return 0; }
| 排序算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 稳定性 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 冒泡排序 | O(n²) | O(1) | 稳定 | 小规模数据，教学演示 |
| 选择排序 | O(n²) | O(1) | 不稳定 | 小规模数据，交换次数少 |
| 插入排序 | O(n²) | O(1) | 稳定 | 基本有序的数据，小规模 |
| 计数排序 | O(n+k) | O(k) | 稳定 | 数据范围小的整数 |
数论是数学与编程的完美结合！掌握这些，解决数学问题如虎添翼！
素数（质数）：只能被1和它本身整除的大于1的正整数。
比如：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...
判断方法：看 n 能不能被 2 到 n-1 之间的数整除。如果能，就不是素数！
#include <iostream> using namespace std; // 判断是否为素数的函数 bool isPrime(int n) { // 特殊情况处理 if (n <= 1) return false; // 0和1不是素数 if (n == 2) return true; // 2是素数 if (n % 2 == 0) return false; // 偶数不是素数 // 只需要检查到√n for (int i = 3; i * i <= n; i += 2) { // 只检查奇数 if (n % i == 0) { return false; // 能被整除，不是素数 } } return true; // 是素数 } int main() { int n; cout << "请输入一个正整数："; cin >> n; if (isPrime(n)) { cout << n << " 是素数" << endl; } else { cout << n << " 不是素数" << endl; } // 输出1-100的所有素数 cout << endl << "1-100的素数：" << endl; for (int i = 1; i <= 100; i++) { if (isPrime(i)) { cout << i << " "; } } cout << endl; return 0; }
最大公约数（GCD）：两个数都能整除的最大的那个数。
比如：12 和 18 的最大公约数是 6（因为 12÷6=2，18÷6=3）
辗转相除法原理：
#include <iostream> using namespace std; // 方法1：while循环版本 int gcd(int a, int b) { while (b != 0) { int temp = a % b; // 计算余数 a = b; // b变成新的a b = temp; // 余数变成新的b } return a; // 当b=0时，a就是最大公约数 } // 方法2：递归版本（更简洁） int gcdRecursive(int a, int b) { if (b == 0) return a; return gcdRecursive(b, a % b); } // 求最小公倍数 LCM // 公式：lcm(a, b) = a * b / gcd(a, b) int lcm(int a, int b) { return a / gcd(a, b) * b; // 先除后乘，防止溢出 } int main() { int a, b; cout << "请输入两个正整数："; cin >> a >> b; cout << "最大公约数：" << gcd(a, b) << endl; cout << "最小公倍数：" << lcm(a, b) << endl; // 验证：gcd × lcm = a × b cout << "验证：" << gcd(a, b) << " × " << lcm(a, b); cout << " = " << (long long)gcd(a, b) * lcm(a, b); cout << "，" << a << " × " << b << " = " << (long long)a * b << endl; return 0; }
十进制转二进制："除基取余，逆序排列"
#include <iostream> using namespace std; int main() { int n; cout << "请输入一个十进制数："; cin >> n; // ========== 十进制转二进制 ========== int binary[32]; // 存储二进制各位（int最多32位） int count = 0; // 记录位数 int temp = n; // 特殊情况：0 if (temp == 0) { binary[count++] = 0; } else { // 除基取余 while (temp > 0) { binary[count++] = temp % 2; // 取余数 temp /= 2; // 除以2 } } // 逆序输出 cout << n << " 的二进制："; for (int i = count - 1; i >= 0; i--) { cout << binary[i]; } cout << endl; // ========== 十进制转任意进制（2-16） ========== int base; cout << endl << "请输入目标进制（2-16）："; cin >> base; char digits[] = "0123456789ABCDEF"; // 进制字符表 char result[32]; count = 0; temp = n; if (temp == 0) { result[count++] = '0'; } else { while (temp > 0) { result[count++] = digits[temp % base]; temp /= base; } } cout << n << " 的 " << base << " 进制："; for (int i = count - 1; i >= 0; i--) { cout << result[i]; } cout << endl; // ========== 二进制转十进制 ========== string binStr; cout << endl << "请输入一个二进制数："; cin >> binStr; int decimal = 0; for (int i = 0; i < binStr.size(); i++) { decimal = decimal * 2 + (binStr[i] - '0'); } cout << binStr << " 的十进制：" << decimal << endl; return 0; }